13)Первообразная ф-ция математическом анализе первообра́зной (первоо́бразной) или примити́вной функцией данной функции f называют такую F, производная которой (на всей области определения) равна f, то есть F′ = f. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.
Для примера: F(x) = x^3 / 3 является первообразной f(x) = x^2. Так как производная константы равна нулю, x^2 будет иметь бесконечное количество первообразных; таких как x^3 / 3 + 45645 или x^3 / 3 − 36 … и т. д.; таким образом семейство первообразных функции x^2 можно обозначить как F(x) = x^3 / 3 + C, где C — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально друг относительно друга, и их положение зависит от значения C.
Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если F — первообразная интегрируемой функции f, то: (знак интеграла)(с пределами от a(внизу) до b(на верху)) f(x)dx=F(b)-F(a)
Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.
Благодаря этой связи множество первообразных данной функции f называют неопределённым интегралом (общим интегралом) f и записывают в виде интеграла без указания пределов (Знак интеграла(ЗИ)) f(x)dx
Если F — первообразная f, и функция f определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная G отличается от F на константу: всегда существует число C, такое что G(x) = F(x) + C для всех x. Число C называют постоянной интегрирования.
Каждая непрерывная функция f имеет первообразную F, которая представляется в виде интеграла от f с переменным верхним пределом:F(x)=(ЗИ)(x(на верху) до а(внизу))f(t)dt
Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например,f(x)=2x sin(1/x)-cos(1/x) с f(0) = 0 не непрерывна при x = 0, но имеет первообразнуюF(x)=x^(2) sin(1/x) с F(0) = 0.
Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:
(ЗИ)e^(-x^2))dx (ЗИ)((sin(x)/x)dx (ЗИ)((1/lnx))dx
