http://0x0tnik.ucoz.ru/load/1-1-0-4 1 Уравнение с 1 неизвестным. Равносильные уравнения. Уравнение в математике, аналитическая запись задачи о разыскании значений аргументов, при которых значения двух данных функций равны. Аргументы, от которых зависят эти функции, называются обычно неизвестными, а значения неизвестных, при которых значения функций равны, – решениями (корнями); о таких значениях неизвестных говорят, что они удовлетворяют данному У. Например, 3x – 6 = 0 является У. с одним неизвестным, а х = 2 есть его решение; x2 + y2 = 25 является У. с двумя неизвестными, а х = 3, y = 4 есть одно из его решений. Совокупность решений данного У. зависит от области М значений, допускаемых для неизвестных. У. может не иметь решений в М, тогда оно называется неразрешимым в области М. Если У. разрешимо, то оно может иметь одно или несколько, или даже бесконечное множество решений. Например, У. x4 – 4 = 0 неразрешимо в области рациональных чисел, но имеет два решения:
x1 = , x2 = – в области действительных чисел и четыре решения: x1 = , x2 = –, x3 = i, x4 = – в области комплексных чисел. У. sinx = 0 имеет бесконечное множество решений: xk = kp (k = 0, ± 1, ± 2,...) в области действительных чисел. Если У. имеет решениями все числа области М, то оно называется тождеством в области М. Например, У. х = является тождеством в области неотрицательных чисел и не является тождеством в области действительных чисел.
Совокупность У., для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющие одновременно всем этим У., называется системой У.; значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем У. системы, – решениями системы. Например, х + 2y = 5, 2x + у – z = 1 является системой двух У. с тремя неизвестными; одним из решений этой системы является х = 1, у = 2, z = 3.
Две системы У. (или два У.) называются равносильными, если каждое решение одной системы (одного У.) является решением др. системы (другого У.), и наоборот, причём обе системы (оба У.) рассматриваются в одной и той же области (см. Равносильные уравнения). Например, У. х – 4 = 0 и 2x – 8 = 0 равносильны, т.к. решением обоих У. является лишь х = 4. Всякая система У. равносильна системе вида fk (x1, x2,..., хп) = 0, где k = 1, 2,... Процесс разыскания решений У. заключается обычно в замене У. равносильным. В некоторых случаях приходится заменять данное У. другим, для которого совокупность решений шире, чем у данного У. Решения нового У., не являющиеся решениями данного У., называются посторонними решениями (см. Посторонний корень).
Например, возводя в квадрат У. , получают У. x - 3 = 4, решение которого х = 7 является посторонним для исходного У. Поэтому, если при решении У. делались действия, могущие привести к появлению посторонних решений (например, возведение У. в квадрат), то все полученные решения преобразованного У. проверяют подстановкой в исходное У.
Наиболее изучены У., для которых функции fk являются многочленами от переменных x1, x2,..., хп, – алгебраические У. Например, алгебраическое У. с одним неизвестным имеет вид:
a0xn + a1xn-1 +... + an = 0 (a0 ¹ 0); (*)
число n называется степенью У. Решение алгебраич. У. было одной из важнейших задач алгебры в 16–17 вв., когда были получены формулы и методы решения алгебраических У. 3-й и 4-й степеней (см. Алгебра, Кардано формула) (правила решения алгебраических У. 1-й и 2-й степеней были известны ещё в глубокой древности). Для корней У. 5-й и высших степеней общей формулы не существует, поскольку эти У., вообще говоря, не могут быть решены в радикалах (Н. Абель, 1824). Вопрос о разрешимости алгебраических У. в радикалах привёл (около 1830) Э. Галуа к общей теории алгебраических У. (см. Галуа теория). (от Вадима Войнова)
2 Ирациональные уравнения (на примерах). Каждое алгебраическое У. всегда имеет хотя бы одно решение, действительное или комплексное. Это составляет содержание т. н. основной теоремы алгебры, строгое доказательство которой впервые было дано К. Гауссом в 1799. Если a – решение У. (*), то многочлен a0xn + a1xn-1 +... + an делится на х – a. Если он делится на (х – a) k, но не делится на (х – a) k+1, то решение a имеет кратность k. Число всех решений У. (*), если каждое считать столько раз, какова его кратность, равно n.
Если f (x) – трансцендентная функция, то У. f (x) = 0 называются трансцендентным (см., например, Кеплера уравнение), причём в зависимости от вида f (x) оно называется тригонометрическим У., логарифмическим У., показательным У. Рассматриваются также иррациональные У., то есть У., содержащие неизвестное под знаком радикала. При практическом решении У. обычно применяются различные приближённые методы решения У.
Среди систем У. простейшими являются системы линейных У., то есть У., в которых fk суть многочлены первых степеней относительно x1, x2,..., хп (см. Линейное уравнение).
Решение системы У. (не обязательно линейных) сводится, вообще говоря, к решению одного У. при помощи т. н. исключения неизвестных (см. также Результант).
В аналитической геометрии одно У. с двумя неизвестными интерпретируется при помощи кривой на плоскости, координаты всех точек которой удовлетворяют данному У. Одно У. с тремя неизвестными интерпретируется при помощи поверхности в трёхмерном пространстве. При этой интерпретации решение системы У. совпадает с задачей о разыскании точек пересечения линий, поверхностей и т.д. У. с большим числом неизвестных интерпретируются при помощи многообразий в n-мерных пространствах.
В теории чисел рассматриваются неопределенные У., то есть У. с несколькими неизвестными, для которых ищутся целые или же рациональные решения (см. Диофантовы уравнения). Например, целые решения У. x2 + y2 = z2 вид х = m2-n2, у = 2 mn, z = m2 + n2 где m и n – целые числа.
С наиболее общей точки зрения, У. является записью задачи о разыскании таких элементов некоторого множества А, что F (a) = Ф (а), где F и Ф – заданные отображения множества А в множество В. Если множества А и В являются множествами чисел, то возникают У. рассмотренного выше вида. Если А и В – множества точек в многомерных пространствах, то получаются системы У., если же A и В – множества функций, то в зависимости от характера отображения могут получаться также дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и др. виды У. Наряду с вопросами нахождения решения У. в общей теории У. различного вида изучаются вопросы существования и единственности решения, непрерывной зависимости его от тех или иных данных и т.д.
Термин «У.» употребляется (в отличном от указанного выше смысле) и в др. естественных науках, см., например, Уравнение времени (в астрономии), Уравнение состояния (в физике), Уравнения химические, Максвелла уравнения в электродинамике, Кинетическое уравнение Больцмана в теории газов. (от Вадима Войнова)
http://math.ournet.md/praktikum/iratr/irater.html (от Вадима Войнова) 3 Неравенства с 1 переменной. 4 Метод интервалов (на примерах). http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=28 (от Вадима Войнова) 5 Квадратные неравенства. http://www.distedu.ru/mirror/_math/mschool.kubsu.ru/cdo/shabitur/kniga/sprav/neraven/kvadrat/kvadrat.htm (от Вадима Войнова) 6 Функция. Определение четность и нечётность. • Функция f:[-X,X] c R(стрелка)R называется нечётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), (A верх ногами!)x E(знак принадлежности)[-X,X]
• Функция f называется чётной, если справедливо равенство
f(-x)=-f(x), (A верх ногами!)x E(знак принадлежности)[-X,X]
• Если не выполняется ни одно из этих равенств, то функция называется функцией общего вида.
[править] Свойства
• График нечётной функции симметричен относительно начала координат O.
• График чётной функции симметричен относительно оси ординат Oy.
• Произвольная функция f:[-X,X] c R(стрелка)R может быть представлена в виде суммы нечётной и чётной функций:
f(x) = g(x) + h(x),
где
g(x)=(f(x)-f(-x))\2 , h(x)=(f(x)+f(-x))\2
• Функция f(x)=0— единственная функция, одновременно являющаяся нечётной и чётной.
• Сумма, разность и вообще любая линейная комбинация чётных функций чётна, а нечётных — нечётна.
• Произведение или дробь двух нечётных функций чётно.
• Произведение или дробь двух чётных функций чётно.
• Произведение или дробь нечётной и чётной функций нечётно.
• Композиция двух нечётных функция нечётна.
• Композиция двух чётных функций чётна.
• Композиция чётной функции с нечётной чётна.
• Композиция любой функции с чётной чётна (но не наоборот).
• Функция, обратная чётной, чётна, а нечётной — нечётна.
• Производная чётной функции нечётна, а нечётной — чётна.
o То же верно про производную третьего, пятого и вообще любого нечётного порядка.
• Производная чётного порядка сохраняет чётность.
[править] Примеры
[править] Нечётные функции
• Нечётная степень f(x)=x2k+1 , xE(знак принадлежности)Rгде k E(знак принадлежности)Z— произвольное целое число.
• Синус .f(x)=sinx, xE(знак принадлежности)R
• Тангенс .f(x)=tgx, xER
[править] Чётные функции
• Чётная степень f(x)=x2k, xE(знак принадлежности)R
• где xE(знак принадлежности)R— произвольное целое число.
• Косинус . f(x)=cosx, xE(знак принадлежности)R
http://www.mathauto.ru/referat/chetnost.htm (от Вадима Войнова)
7 Простейшие уравнения. Преобразование графической функции. http://www.uztest.ru/abstracts/?idabstract=51 8 Свойства и график п=-2 и п=-3. Свойства функции y=x3:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 -нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой
y=xn, где n- натуральное число. При n=1 получаем функцию
y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2;
y=x3. Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция
y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2.
График функции напоминает параболу y=x2, только ветви графика при
|х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем «теснее
прижимаются» к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае
функция y=xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x
3. График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная
формулой y=x-n, где n- натуральное число. При n=1
получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y=x
-n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2:
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух. (от Вадима Войнова) 9 Степенная функция при п=1/2 и 1/3. Свойства функции y=Öх:
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y=Öх - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y=3Öх
Свойства функции y=3Öх:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y=3Öх нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой. (от Вадима Войнова)
10 Показательная функция. Свойства и график. 11 Логарифм и числа. Свойства логарифма. При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y=Öх
. При нечетном n функция y=nÖх обладает теми же
свойствами, что и функция y=3Öх.
Логарифмом числа N > 0 по основанию a > 0 называется показатель степени x, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число: N = a x. Логарифм записывают в виде x = logaN.
Итак, x = logaN, если N = a x. Например, log10100 = 2, т.к. 100 = 102.
Из свойств логарифмической функции вытекает, что каждому положительному числу соответствует при данном основании единственный действительный логарифм (логарифмы отрицательным чисел являются комплексными числами).
Основные свойства логарифма:
loga(MN) = logaM + logaN;
loga(M/N) = logaM - logaN;
logaNk = k logaN;
logak√N = (1/k) logaN; (от Вадима Войнова)
12 Основное логарифмическое тождество. Фурмула перехода к другому основанию. http://math.ournet.md/praktikum/logr/logr.html Степенная функция с положительным дробным показателем- функция,
заданная формулой y=xr, где r- положительная
несократимая дробь.
Свойства функции y=xr:
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2. Он заключен
между графиками функций y=x2 и y=x3, заданных на
промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y=x
r, где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3. Подобный вид
имеет график любой степенной функции y=xr , где 0<r<1 (от Вадима Войнова)
13 ... Степенная функция с отрицательным дробным показателем-функция,
заданная формулой y=x-r, где r- положительная
несократимая дробь.
Свойства функции y=x-r:
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥) (от Вадима Войнова)
14 Показательные ... (на примерах) Обратная функция
Если функция y=f(x) такова, что для любого ее значения yo
уравнение f(x)=yo имеет относительно х единственный
корень, то говорят, что функция f обратима.
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и
областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная
функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x),
надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно
прямой y=x. (от Вадима Войнова)
15 Логарифмические уравнения. Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2.
Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
Логарифмические уравнения
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением.
Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида
loga x = b. (1)
Утверждение 1. Если a > 0, a ≠ 1, уравнение (1) при любом действительном b имеет единственное решение x = ab.
Пример 1. Решить уравнения:
a) log2 x = 3, b) log3 x = -1, c) log1\3x=o
Решение. Используя утверждение 1, получим
a) x = 23 или x = 8; b) x = 3-1 или x = 1/3; c) x=(1\3)^0 или x = 1.
Приведем основные свойства логарифма.
P1. Основное логарифмическое тождество:
где a > 0, a ≠ 1 и b > 0.
P2. Логарифм произведения положительных сомножителей равен сумме логарифмов этих сомножителей:
loga N1•N2 = loga N1 + loga N2 (a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если N1•N2 > 0, тогда свойство P2 примет вид
loga N1•N2 = loga |N1| + loga |N2| (a > 0, a ≠ 1, N1•N2 > 0).
P3. Логарифм частного двух положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя
(a > 0, a ≠ 1, N1 > 0, N2 > 0).
Замечание. Если ,N1\N2>0 (что равносильно N1N2 > 0) тогда свойство P3 примет вид
logaN1\N2=loga|N1|-loga|N2| (a > 0, a ≠ 1, N1N2 > 0).
P4. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя степени на логарифм этого числа:
loga N k = k loga N (a > 0, a ≠ 1, N > 0).
Замечание. Если k - четное число (k = 2s), то
loga N 2s = 2s loga |N| (a > 0, a ≠ 1, N ≠ 0).
P5. Формула перехода к другому основанию:
logaN=logbN\logba (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, N > 0),
в частности, если N = b, получим
logab=1\logba (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1).
(2)
Используя свойства P4 и P5, легко получить следующие свойства
loga^cb^d=(d\c)logab (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(3)
loga^cb^c=logab (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(4)
loga^cb=(1\c)logab (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c ≠ 0),
(5)
и, если в (5) c - четное число (c = 2n), имеет место
loga^2nb=(1\2n)log|a|b (b > 0, a ≠ 0, |a| ≠ 1).
(6)
Перечислим и основные свойства логарифмической функции f(x) = loga x:
1. Область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
2. Область значений логарифмической функции - множество действительных чисел.
3. При a > 1 логарифмическая функция строго возрастает (0 < x1 < x2 (знак принадлежности) loga x1 < loga x2), а при 0 < a < 1, - строго убывает (0 < x1 < x2 (знак принадлежности) loga x1 > loga x2).
4. loga 1 = 0 и loga a = 1 (a > 0, a ≠ 1).
5. Если a > 1, то логарифмическая функция отрицательна при x E(знак эпсилона)(0;1) и положительна при x E (1;+бесконечность), а если 0 < a < 1, то логарифмическая функция положительна при x E (0;1) и отрицательна при x E (1;+бесконечность).
6. Если a > 1, то логарифмическая функция выпукла вверх, а если a E (0;1) - выпукла вниз.
Следующие утверждения (см., например, [1]) используются при решении логарифмических уравнений. (от Вадима Войнова) 16 Определение cos sin tg ctg дейсвительные числа. Знаки по четвертям. Синусом угла α называется отношение ординаты точки В к длине радиуса(sin α)
Косинусом угла α называется отношение абсциссы точки В к длине радиуса(cos α)
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки В к её абсциссе(tg α)
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки В к её ординате(ctg α) (от Вадима Войнова) 
17 Основные тригонометрические тождества. Зависимость между cos sin tg ctg.  (от Руслана Каримова)
18 Формулы сложения. Для любых углов α и β справедливы равенства:
cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
Чтобы получить эту формулу рассмотрим единичный тригонометрическую окружность с двумя радиус векторами OA и OB, соответствующими углам α и β.
По определению тригонометрических функций координаты векторов: ОА (cos α, sin α) и ОВ (cos β, sin β). Вычислим скалярное произведение этих векторов: ОА × ОВ = |ОА| × |ОВ| × cos (α+β) = cos (α+β)
Вычислим скалярное прозведение векторов через координаты: ОА × ОВ = cos α cos β – sin α sin β. Так получается искомая формула: cos(α + β) = cos α cos β – sin α sin β
cos(α – β) = cos α cos β + sin α sin β
Чтобы получить эту формулу нужно в предыдущей формуле заменить β на –β.
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Эта формула получается через использование формул приведения в предыдущей формуле.
sin(α – β) = sin α cos β – cos α sin β
Эта формула получается через замену β на –β в предыдущей формуле.
Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α + β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
tg(α + β) = (tg α + tg β)/(1 – tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α + β) и cos(α + β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠ π/2 + πk, β ≠ π/2 + πn, α – β ≠ π/2 + πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
tg(α – β) = (tg α – tg β)/(1 + tg α tg β)
Эта формула получается через вычисления частного sin(α – β) и cos(α – β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠ πk, β ≠ πn, α + β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
ctg(α + β) = (ctg α ctg β – 1)/(ctg β + ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α + β) и sin(α + β)
Для любых углов α и β таких, что α ≠ πk, β ≠ πn, α – β ≠ πm (k, n, m принадлежат множеству Z), справедливо:
ctg(α – β) = (ctg α ctg β + 1)/(ctg β – ctg α)
Эта формула получается через вычисления частного cos(α – β) и sin(α – β) (от Вадима Войнова)
19 Формулы двойного угла. Формулы понижения степени (формулы половинного аргумента) Формулы двойного угла
Формулы двойного угла выводятся из формул, если принять, что угол β равен углу α:
Формулы двойного угла:
sin2α = 2sin(α)cos(α)
cos2α = cos2α − sin2α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin2α
tg2α =(2tgα)\(1-tg2α)
Ctg2α=(ctg2α-1)\(2ctgα) (от Вадима Войнова) 20 Формулы приведения.   (от Руслана Каримова)
21 Фурмулы суммы и разности sin и cos (преобразование суммы и разности функции произведения) cos α + cos β = 2cos((α + β)/2) cos((α – β)/2)
cos α – cos β = 2sin((α + β)/2) sin((β – α)/2)
sin α + sin β = 2sin((α + β)/2) sin((α – β)/2)
sin α – sin β = 2sin((α – β)/2) cos((α + β)/2)
tg α + tg β = sin(α + β)/(cos α cos β)
tg α – tg β = sin(α – β)/(cos α cos β)
ctg α ± ctg β = sin(β ± α)/(sin α sin β) (от Вадима Войнова)
|
